Question

如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝3．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为______．

Answer

10

【解析】

根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分 N在矩形ABCD内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．

【解析】
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，
∴∠MAB=∠MNB=90°．
∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，
∴∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，
∴只有∠BNC=90°．①当∠BNC=90°，N在矩形ABCD内部，如图1．

∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三点共线，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4．
设AM=MN=x，
∵MD=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（5-x）2=（4+x）2，
解得x=1；

②当∠BNC=90°，N在矩形ABCD外部时，如图2．

∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三点共线，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
设AM=MN=y，
∵MD=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（y-5）2=（y-4）2，
解得y=9，
则所有符合条件的M点所对应的AM和为1+9=10．
故答案为：10．