Question

如图，己知点C是线段BD上一点，以BC、 DC为一边在BD的同一侧作等边△ABC和等边△ECD,连接AD, BE相交于点F, AC和BE交于点M, AD, CE交于点N,(注：等边三角形的每一个内角都等于60° )

(1) 求证： AD=BE

(2) 线段CM与CN相等吗?请证明你的结论。

(3) 求∠BFD的度数。

Answer

(1)见解析；（2）BM=AN 理由见解析；（3）120°.

【解析】

（1）根据已知条件易证△ACD≌△BCE，即可证明AD=BE；

（2）易证△BCM≌△ACN，即可进行判断；

（3）根据△ACD≌△BCE,∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=∠ECD=60°，故根据△BDF的内角和即可求解.

（1）证明：∵△ABC、△DCE均是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCE=∠ACD，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BD=AE；

（2）∵△ACD≌△BCE

∴∠CBM=∠CAN

∵∠BCM=∠ECD=60°，∴∠ACN=60°，

又BC=AC

∴△BCM≌△ACN (ASA)

∴BM=AN.

（3）∵△ACD≌△BCE,

∴∠EBC+∠ADC=∠EBC+∠BEC=∠ECD=60°，

∴在△BDF中∠BFD=180°-(∠EBC+∠ADC)=120°.