Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer

【解析】
（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=AC=×60=30cm。

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=CD=2t。∴DF=AE。

（2）能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形。

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10。

∴当t=10时，AEFD是菱形。

（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：

①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。

②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即2t =2×60-4t，解得：t=12。

综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形

【解析】

试题（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明。

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值。

（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论。