Question

如图，在ΔABC中，AB=AC,BC=12,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N.

(1)求△AEN的周长；

(2)判断ΔAEN的形状并说明理由.

Answer

（1）△AEN周长为12；（2）△AEN为等边三角形．

【解析】

（1）根据垂直平分线的性质，结合已知条件可得AE与BE，AN与NC之间的关系，至此不难得到△AEN的周长；

（2）根据已知条件AB=AC，∠BAC=120°，先求出∠ABC和∠ACB的度数；由AE=BE，AN=CN，可求出∠BAE=∠CAN=30°，利用三角形外角定理，即可判断出△AEN的形状.

（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，

∴AE=BE，AN=CN，

∵BC=12，

∴△AEN周长=AE+EN+AN=BE+EN+NC=BC=12；

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵AE=BE，AN=CN，

∴∠BAE=∠CAN=30°，

∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=60°；

∵∠AEN=∠B+∠BAE=60°，∠ANE=∠C+∠CAN=60°，

∴△AEN为等边三角形．