Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．

（1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．

Answer

（1）B(,1) （2）∠ABQ的大小不变.（3）P(-,0)

【解析】试题（1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；

（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题；

（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果．

【解析】
（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=2，

∴∠AOB=60°，OB=OA=2，

∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，

∴BC=OB=1，OC=，

∴点B的坐标为B（，1）；

（2）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：

∵△APQ、△AOB均为等边三角形，

∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，

∴∠PAO=∠QAB，

在△APO与△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠ABQ=∠AOP=90°；

（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．

又OB=OA=2，可求得BQ=，

由（2）可知，△APO≌△AQB，

∴OP=BQ=，

∴此时P的坐标为（﹣，0）．