Question

如图，CD是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，点A在CD的延长线上，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，且CB平分∠ACE.

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径.

Answer

（1）证明略； （2）半径为.

【解析】

（1）连接OB，由题意可证OB∥CE，由CE⊥AE，可得OB⊥AE，则可证AB是⊙O的切线；

（2）连接BD通过△DBC∽△BEC，得到比例式，求出DC即可得结果．

【解析】
（1）连接OB，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵CB平分∠ACE，

∴∠OCB＝∠BCE，

∴∠OBC=∠BCE，

∴OB∥CE，

∵CE⊥AE，

∴OB⊥AE，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）连接BD，

∵CE丄AB，

∴∠E＝90°，

∴BC＝＝5，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DBC＝90°，

∴∠E＝∠DBC，

∴△DBC∽△BEC，

∴

∴BC2＝DC•CE，

∴DC＝，

∴OC＝CD＝，

∴⊙O的半径＝.