Question

如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE＝DC，点F是DE与AC的交点.

（1）求证：∠BDE＝∠ACD

（2）若DE＝2DF，过点E作EG∥AC交AB于点G，求证：AB＝2AG；

（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上” 改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点改为 “点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图.

① 求证：；

② 若DE＝4DF，请直接写出S_△ABC∶S_△DEC的值.

   

Answer

（1）见解析； （2）见解析； （3）① 见解析；② .

【解析】

（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题；

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，证明△DCA≌△EDG，可得DA＝EG ，CA＝DG，再由DF＝EF，得到DA＝AG＝BG；

（3）①过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，证明△DCA≌△EDG，可得AD=GE，由AC∥EG得△ABC∽△GBE，BG=GE，根据相似三角形对应边成比例列式可得结果；②作AH垂直BC于H，作DM⊥CE于M，由△ADF∽△CDE及AD= GE= BG可得，由△ABC∽△GBE可得，根据三角形面积公式列出比例式化简即可.

【解析】
（1）证明：∵AB＝AC，DC＝DE，

∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．

∴∠BDE＝∠DEC−∠DBC＝∠DCE−∠ACB＝∠ACD．

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，

则有∠DAC＝∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∠DCA＝∠GDE，

∠DAC＝∠DGE，

DC＝DE，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA＝EG，CA＝DG，

∴DG＝AB．

∴DA＝BG．

∵AF∥EG，DF＝EF，

∴DA＝AG．

∴AG＝BG．

∴AB＝2AG．

（3）①过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，

∵AB＝AC，DC＝DE，

∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．

∴∠BDE＝∠DBC−∠DEC＝∠ACB−∠DCE＝∠DCA．

∵AC∥EG，

∴∠DAC＝∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

，

∴△DCA≌△EDG（AAS），

∴AD=GE，

∵AC∥EG，

∴△ABC∽△GBE，AB=AC，

∴BG=GE，

∴，

∴

即：；

②∵AC∥EG，

∴△ADF∽△CDE，

∴，

∵AD= GE= BG，

∴，

作AH垂直BC于H，作DM⊥CE于M，如图2，

∴AH∥DM，

∴，

又∵△ABC∽△GBE，

∴，

∴，

∴.