Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.

(1)已知∠A=∠B，求证：AD=BC；

(2)已知AD=BC，求证：∠A=∠B.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）过C作CE∥DA，可证明四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，根据DA∥CE，可得∠A=∠CEB，根据等量代换可得∠CEB=∠B，进而得到EC=BC，从而可得AD=BC；

（2）根据CE∥DA，AB∥CD，可证明四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，再由条件AD=BC可得EC=BC，根据等边对等角可得∠B=∠CEB，再根据平行线的性质可得∠A=∠CEB，利用等量代换可得∠B=∠A．

【解析】
（1）如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E

∵CE∥DA，AB∥CD

∴四边形AECD是平行四边形

∴AD=EC

又∵CE∥DA

∴∠A=∠CEB

又∵∠A=∠B

∴∠CEB=∠B

∴EC=BC

∴AD=BC

（2）∵CE∥DA，AB∥CD

∴四边形AECD是平行四边形

∴AD=EC

又∵AD=BC

∴EC=BC

∴∠CEB=∠B

又∵CE∥DA

∴∠CEB=∠A

∴∠B=∠A