Question

如图，在△ABC中，点0是AC边上一动点，过点0作DE，使DE∥BC，DE交∠ACB的角平分线于点D，交∠ACB的外角平分线于点E.

(1)求证：OD=OE；

(2)当点0运动到何处时，四边形CDAE是矩形?请证明你的结论.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠ODC=∠OCD，证出OD=OC，同理得出OE=OC，即可得出OD=OE；

（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；

【解析】
（1）∵DE∥BC

∴∠ODC=∠DCB

又CD平分∠ACB

∴∠OCD=∠DCB

∴∠ODC=∠OCD

∴OD=OC

同理，OE=OC

∴OD=OE

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CDAE是矩形.

∵O为AC的中点

∴OA=OC

又OD=OE

∴四边形CDAE是平行四边形

又∵CD平分∠ACB，CE平分∠ACF

∴∠OCD+∠OCE=90°

即∠DCE=90°

∴四边形CDAE是矩形