Question

阅读下列材料：

问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG. 

求证：EG =AG+BG.

小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理解决问题.

参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）完成上面问题中的证明；

（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

Answer

（1）证明见解析；（2）EG+BG =AG，证明见解析.

【解析】试题（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等边三角形，故可得出结论；

（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根据∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG=HG，由此可得出结论．

试题解析：（1）如图1，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE．

∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，

∴∠ABG=∠AEH．

∵又∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等边三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG+BG；

（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG=AG﹣BG．

理由如下：

如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．

∴∠ABG=∠AEH．

又∵AB=AE，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴AG=HG，

∴EG=AG﹣BG．