Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于点D，过点C作CF⊥BC交BE的延长线于点F，连接FD交AC于点H，FD平分∠BFC．

（1）求证：DE=DC；

（2）求证：HE=HC=1；

（3）求BD的长度．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）根据切线的定义证得DE⊥BF；然后由角平分线的性质（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）证得DE=DC；

（2）根据全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△DEF≌Rt△DCF；然后由全等三角形的对应角相等、等腰三角形的“三合一”的性质推知CH=CE=1；

（3）由相似三角形△ABC∽△AEB的对应边成比例求得AB=2；然后在Rt△ABE中利用正切三角函数的定义推知tan∠ABE=；最后由勾股定理、等角的三角函数值相等即可求得BC、CD的长度，从而求得BD=BC-CD．

（1）证明：∵∠BAC=90°，

∴BE是△ABE外接圆的直径；

又∵DE是△ABE外接圆的切线，

∴DE⊥BF；

又∵CF⊥BC，FD平分∠BFC，

∴DE=DC；

（2）证明：∵E是AC的中点，AE=2，

∴CE=AE=2；

在Rt△DEF和Rt△DCF中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL），

∴∠EDH=∠CDH，

∴DH是CE边上的中线，DH⊥CE，

∴HE=HC=1；

（3）∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠FEH，∠FEH+∠DEH=90°，

∴∠ABE=∠DEH=∠DCH，

又∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AEB，

∴AB：AC=AE：AB，

∵AE=2，AC=2AE=4，

∴AB=2，

∴tan∠ABE=；

∴在Rt△ABC中，根据勾股定理知，BC=2；

∵tan∠ABE=tan∠DCH=，

∴DH=，

∴CD=，

∴BD=BC-CD=．