Question

如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．

（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；

（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．

【解析】

（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=GE，根据三角形的中位线的性质得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到结论；

（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；

（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：∵四边形OEFG是正方形，

∴ME=GE，

∵OG=2OD、OE=2OC，

∴CD∥GE，CD=GE，

∴CD=GE，

∴四边形CDME是平行四边形；

（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，

∵四边形OEFG是正方形，

∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，

∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，

∴∠G′OD=∠E′OC，

∴∠AOG′=∠COE′，

在△AG′O与△ODE′中，

，

∴△AG′O≌△ODE′

∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，

∵∠1=∠2，

∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，

∴AG′⊥DE′；

（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，

Ⅰ、当AN=AO时，

∵∠OAN=45°，

∴∠ANO=∠AON=67.5°，

∵∠ADO=45°，

∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；

Ⅱ、当AN=ON时，

∴∠NAO=∠AON=45°，

∴∠ANO=90°，

∴α=90°-45°=45°；

②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，

Ⅰ、当AN=AO时，

∵∠OAN=45°，

∴∠ANO=∠AON=67.5°，

∵∠ADO=45°，

∴α=∠ANO+90°=112.5°；

Ⅱ、当AN=ON时，

∴∠NAO=∠AON=45°，

∴∠ANO=90°，

∴α=90°+45°=135°，

Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，

综上所述：若△AON是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．