Question

如图，将沿弦折叠，使折叠后的劣弧恰好经过圆心O，连接并延长交于点C，点P是优弧上的动点，连接.

（1）如图，用尺规面出折叠后的劣弧所在圆的圆心，并求出的度数；

（2）如图，若是的切线，，求线段的长；

（3）如图，连接，过点B作的重线，交的延长线于点D，求证：.

Answer

（1）图见解析，=60°；（2）AP=4；（3）见解析.

【解析】

分别作AO，AB的垂直平分线，其交点即为劣弧所在圆的圆心，由作图的过程可知AO，OB，，，分别为， 的半径，可证△AO与△BO均为等边三角形，点在上，则可求出，根据圆周角定理可求出的度数；
连接，证明为的直径，则，在 中利用勾股定理可求出AP的长；
延长AP至M，使，连接CM，证明∽，可证明，进一步可证明．

【解析】
如图1，分别作AO，AB的垂直平分线，其交点即为劣弧所在圆的圆心，

连接A，B，OB，
，OB，，，分别为，的半径，
∴AO=BO===，
∴△AO与△BO均为等边三角形，点在上，
∴，，

∴∠AOB=∠AO+∠BO=120°，
；

如图2，连接，

是的切线，
∴AP⊥，
∴，
∴为圆O的直径，
，
∴，
在 中，
；

如图3，延长AP至M，使，连接CM，

为的直径，
，
在中，
，
，
，，
，
由知，，
，
，
即，
，
∽，
，
，
，，
．