Question

如图，在矩形中，，点E是边上的动点，将矩形沿折叠，点A落在点处，连接.

（1）如图，求证：；

（2）如图，若点恰好落在上，求的值；

（3）点E在边上运动的过程中，的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)证明见解析，（2）=，（3）的度数是最大值为90°，此时线段的长=.

【解析】

由折叠知∠AEB=∠A’EB，再利矩形性质可得，结合直角三角形两锐角互余即可得出结论；
先由矩形性质结合勾股定理求得，由折叠性质用勾股定理建立方程求解即可求出AE的长，进而求出结论；
先判断出∠A’CB最大时，点在CE上，进而利用三角形的面积求出CE，进而用勾股定理求出DE，即可得出结论．

【解析】
由折叠知∠AEB=∠A’EB，
∴∠AEB==，
四边形ABCD是矩形，
，
∴== ，
∴=2∠ABE；
四边形ABCD是矩形，
，，
在中，根据勾股定理得，，
设，
，
由折叠知，，， ，
=BD-=4，
∴∠DA’E=90°，
在中，根据勾股定理得， =16，
，
，
，
在中，；

的度数是存在最大值，
理由：如图1，过点B作交的延长线于F，

在中，，
越大时，越大，即越大，
当点E在边AD上运动时，点 与F重合时，BF最大=A’B=AB=6，
∴A’B⊥A’C，
∴ ，
由折叠知，，
点在CE上，如备用图，

四边形ABCD是矩形，
，，
根据三角形面积得:=，
∴A’B=AB，
，
在中，根据勾股定理，
．