Question

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，顶点为.

（1）求这条抛物线表达式；

（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为，它与轴交点为，联结、，设点的纵坐标为，用含的代数式表示的正切值；

（3）联结，在（2）的条件下，射线平分，求点到直线的距离.

Answer

（1）；（2）；（3）6

【解析】

可设顶点式解析式，把点代入，求得a，从而得抛物线的解析式；

画图，把放到直角三角形中来考虑，分别用点P、点H、点B的相关坐标来表示这个直角三角形中的直角边长即可求解；

设PB与x轴交于点M，求出点A坐标，利用点P坐标，得出AP长度，利用角平分线即轴，推得，从而得出AP和AM的长度；

求出直线PB得解析式，从而求得点B的坐标，进而求出BH的长度，再利用角平分线的性质定理即可得点B到直线AP的距离就等于BH的长度．

【解析】
设抛物线表达式为：

把代入得，

抛物线的表达式：．

设PQ与y轴交点为H．

，，

，，

在中，．

故的正切值为：．

设PB与x轴交于点M．

由得点A坐标为．

又，

．

射线PB平分，

．

轴，，

，

，

．

设直线PB为，把点，代入，得：，

点B为．

．

射线PB平分，，

点B到直线AP的距离为6．