Question

如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1=∠2=22.5°，下列结论：①∠1=∠3；②BD+DH=AB；③2AH=BH；④若CD=，则BH=3；⑤若DF⊥BE于点F，则AE-FH=DF；正确的有(   )个.

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer

C

【解析】

根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质依次判断即可得出答案．

【解析】
①∵∠1=∠2=22.5°，
又∵AD是高，
∴∠2+∠C=∠3+∠C，
∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，故①正确；
②∵∠1=∠2=22.5°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴AD=BD，
又∵∠2=∠3，∠ADB=∠ADC，
∴△BDH≌△ADC，
∴DH=CD，
∵∠1=∠2，BE⊥AC，

∴AB=BC，
∴BD+DH=AB，故②正确；
③无法证明；
④无法证明；

⑤作DG⊥AC于G，

∵BE⊥AC，DF⊥BE，DG⊥AC，

∴四边形EFDG是矩形，

∴DF=EG，

∵BE⊥AC，DF⊥BE，DG⊥AC，

∴∠3+∠AHE=∠3+∠C=∠FDH+∠FHD，∠DFH=∠DGC=90°，

∵∠AHE=∠FHD，

∴∠C=∠FHD，

由②得，DH=CD，

∴△DFH≌△DGC，

∴FH=CG，

∴EC-CG=EG，即EC-FH=DF，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AE=EC，

∴AE-FH=DF，故⑤正确．
故选：C．