Question

如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．

（1）在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，此时顶点A₁恰落在直线l上，写出A₁点的坐标　   　；

（2）继续向右平移，得到△A₂B₂C₂，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；

（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A₂、B₂、C₂任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（1）（，3）。

（2）P（3，1）。

（3）存在四个点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。

【解析】

试题（1）∵等边三角形ABC的高为3，∴A1点的纵坐标为3。

∵顶点A1恰落在直线l上，∴，解得；x=。

∴A1点的坐标是（，3）。

（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，先求出A2B2=2，HB2=，根据点P是等边三角形A2B2C2的外心，得出PH=1，将y=1代入，即可得出点P的坐标。

设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，

在等边三角△A2B2C2中，高A2H=3，

∴A2B2=2，HB2=。

∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，

∴∠PB2H=30°。

∴PH=1，即y=1。

将y=1代入，解得：x=3。

∴P（3，1）。

（3）分四种情况分别讨论。

∵点P是等边三角形A2B2C2的外心，

∴△PA2B2，△PB2C2，△PA2C2是等腰三角形，

∴点P满足的条件，由（2）得P（3，1）。

由（2）得，C2（4，0），点C2满足直线的关系式，∴点C2与点M重合。

∴∠PMB2=30°。

设点Q满足的条件，△QA2B2，△B2QC2，△A2QC2能构成等腰三角形，

此时QA2=QB2，B2Q=B2C2，A2Q=A2C2。

作QD⊥x轴与点D，连接QB2，

∵QB2=2，∠QB2D=2∠PMB2=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。

设点S满足的条件，△SA2B2，△C2B2S，△C2PA2是等腰三角形，

此时SA2=SB2，C2B2=C2S，C2A2=C2S。

作SF⊥x轴于点F，

∵SC2=2，∠SB2C2=∠PMB2=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。

设点R满足的条件，△RA2B2，△C2B2R，△C2A2R能构成等腰三角形，

此时RA2=RB2，C2B2=C2R，C2A2=C2R。

作RE⊥x轴于点E，

∵RC2=2，∠RC2E=∠PMB2=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。

综上所述，存在四个点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。