Question

如图，已知，矩形ABCD中，F是对角线BD上一点，以F为圆心，FB为半径作圆与边AD相切于E，边AB与圆F交于另一点G.

（1）若四边形BGEF是菱形，求证：∠EFD=60^o；

（2）若AB=15，AD=36，求AE的长；

（3）若BD与圆F交于另一点H，求证：.

Answer

（1）60°；（2）AE=10；（3）详见解析

【解析】

（1）根据菱形的性质得到△GEF和△BGF都是等边三角形，根据等边三角形的性质计算，得到答案；

（2）根据勾股定理求出BD，由△DEF∽△DAB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

（3）连BE，EH，分别证明△AGE∽△EHB和△DEH∽△DBE，根据相似三角形的性质证明结论．

【解析】
（1）在菱形BGEF中，BG=GE=EF=FB

∵FG=FE=FB

∴△GEF和△BGF都是等边三角形，

∴∠EFD=180°-60°-60°=60°；

（2）∵AB=15，AD=36，

∴DB=39

∵△DEF∽△DAB；设EF=BF=r，设AE=x,

∴

解得：

∴AE=10

（3）连BE，EH，

∵BH为直径，

∴∠BEH=90°，

∴∠BEH=∠EAG，

∵四边形GBHE是圆内接四边形，

∴∠BHE=∠EGA，

∴△AGE∽△EHB，

∴

∵AD是圆的切线，

∴∠DEH=∠DBE，又∠EDH=∠BDE，

∴△DEH∽△DBE，

∴，

∴即.