Question

如图，已知：P（-1，0），Q（0，-2）.

（1）求直线PQ的函数解析式；

（2）如果M（0，）是线段OQ上一动点，抛物线经过点M和点P，

①求抛物线与轴另一交点N的坐标（用含，的代数式表示）；

②若PN=是，抛物线有最大值+1，求此时的值；

③若抛物线与直线PQ始终都有两个公共点，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）①N（，0）；②或；③详见解析．

【解析】

(1)利用待定系数法求一次函数关系式即可;

(2) ①由抛物线经过点M和点P可把点M和点P代入,再利用因式分解法变形可求得结果;

②分两种情况,一种点N在点P的左侧,另一种在右侧,分别代入可求出;

③联立抛物线解析式和直线PQ的解析式,得到关于x的方程,根据“始终都有两个公共点”得＞0，求出a的范围.

【解析】
（1）设直线PQ的函数解析式为y=kx+b,把P（-1，0），Q（0，-2）代入得

,解得,

∴，

（2）①y=ax2+bx+ c 过M（0，m）和P（-1，0），

则过P（-1，0）

∴，

∴

∴

∴N（，0）

②M（0，m），，抛物线y=ax2+bx+c有最大值，

（，）

当时，分两种情况，

（I）

解得：，（经验证，均成立）

（II）

，解得：，（经验证，均成立）

∴或

③

得，

∵，

∴当或时，始终为正，

即抛物线y=ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点．