Question

老师布置了一个作业，如下：已知：如图1的对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点.求证：四边形是菱形.

某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题：

（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；

（2）请你给出本题的正确证明过程.

Answer

（1）能，见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）直接利用菱形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用全等三角形的判定与性质得出EO=FO，进而得出答案．

【解析】
（1）能；该同学错在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但未证明AC垂直平分EF，

需要通过证明得出；

（2）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠FAC＝∠ECA．

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA＝OC．

∵在△AOF与△COE中，

,

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴EO＝FO．

∴AC垂直平分EF．

∴EF与AC互相垂直平分．

∴四边形AECF是菱形．