Question

如图1，四边形是正方形，且，点与重合，以为圆心，作半径长为5的半圆，交于点，交于点，交的延长线于点.

发现是半圆上任意一点，连接，则的最大值为______；

思考如图2，将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为

（1）当时，求半圆落在正方形内部的弧长；

（2）在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切时，请直接写出此时点到切点的距离.（注：,,）

Answer

发现： 13；思考：（1）；（2）点A到切点的距离为3或或．

【解析】

发现：当点M与点G重合时，AM的值最大，据此求解即可；

思考：（1）设半圆O交AD于点N，连接ON，过点O作OH⊥AD于点H．先证明四边形HAFO是矩形，从而AH∥OF，根据锐角三角函数的定义求解即可出∠NOF和∠HNO的值，然后根据弧长公式计算即可；

（2）分三种情况求解，①半圆O与AB相切时，②半圆O与CD相切时，③当半圆O与AD相切时.

【解析】
发现 当点M与点G重合时，AM的值最大，最大值为8＋5＝13．

思考 （1）如图①，设半圆O交AD于点N，连接ON，过点O作OH⊥AD于点H．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°．

∵半圆O绕点F逆时针旋转90°，∴∠OFA＝90°．

∴四边形HAFO是矩形．

∴AH＝OF，OH＝AF＝AB－BF＝3， AH∥OF．

∴sin∠HNO＝＝． ∴∠HNO＝37°．

∴∠NOF＝∠HNO＝37°．

∴半圆O落在正方形内部的弧NF的长＝；

（2）点A到切点的距离为3或或 ．

∵由（1）知，当α＝90°时，半圆O与AB相切，此时切点为点F，

∴AF＝3；

如图②，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，

∴∠ORC＝90°．

∵DC∥AB，

∴∠OTF＝90°．

∴四边形RCBT是矩形．

∴RT＝CB＝8．

∴OT＝8－5＝3．

∴FT＝＝4， AT＝AB－BT＝AB－（BF－FT）＝7．

∴AR＝=；

∴如图③，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点F作FS⊥PO于点S，易得四边形PAFS是矩形，

∴PS＝AF＝3， AP＝SF．

∴SO＝PO－PS＝5－3＝2．

∴SF＝=．

∴AP＝SF＝．

综上，点A到切点的距离为3或或．