Question

如图1，地面BD上两根等长立柱AB， CD之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F₁的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；

（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F₂对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F₂的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．

Answer

（1）m；（2）MN的长度为2.1m；（3）m的取值范围是4≤m≤8﹣2．

【解析】

试题（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．

试题解析：（1）∵a=＞0，

∴抛物线顶点为最低点，

∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，

∴绳子最低点离地面的距离为：m；

（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，

令x=0得y=3，

∴A（0，3），C（8，3），

由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），

设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，

将（0，3）代入得：4a+1.8=3，

解得：a=0.3，

∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，

当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，

∴MN的长度为：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，

∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，

∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），

∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，3）代入得：（8﹣m﹣4）2+k=3，

解得：k=﹣（4﹣m）2+3，

∴k=﹣（m﹣8）2+3，

∴k是关于m的二次函数，

又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，

∴k随m的增大而增大，

∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，

解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），

当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，

解得：m1=8﹣2，m2=8+2（不符合题意，舍去），

∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．