Question

如图，在中，，过点作于点，点是线段上一动点，过三点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点. 

（1）求证：四边形为平行四边形.

（2）当时，求的长.

（3）在点整个运动过程中，

①当中满足某两条线段相等，求所有满足条件的的长.

②当点三点共线时，交于点，记的面积为，的面积为，求的值. （请直接写出答案）

Answer

（1）见解析；（2）PD＝；（3）①或或PF＝；②

【解析】

（1）证明两组对边分别平行即可证明四边形FEBP为平行四边形；

（2）①由AC＝10，sinC＝，可得BC＝6，AB＝8，sinA＝，所以AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8×＝，再求得AP＝，最后PD＝AD﹣AP解答即可；

②分三种情况讨论：Ⅰ．当PF＝PD时，Ⅱ．当QF＝PD时，Ⅲ．当QF＝PF时，分别解答即可；

③连接FD，求出FD的长，再利用勾股定理求出QF的长．

（1）证明：

∵，

∴，

∴，且，∴.

又∵，

所以四边形是平行四边形.

（2）在中，∵，

∴.

∵，

， .

∴

（3）设，则，

①当时，如图.

∴

∴，

∴.

②当时，如图，连结.

∴，即

∴，所以.

由（1）得：四边形为平行四边形，

∴，

在中，易得

∴，

则，

∴.

③当时，如图，连结.

∵

∴，

∴

在中，易得

∴，且.

∴，

∴.

∴，

∴，

综上所述，所有满足条件的PF的长有：；

②连接QD，连接FD，交BP于点H．

∵Q，O，D三点共线

∴QD为⊙O直径．

∵EF∥BP，O为QD中点，

∴H为DF中点，

∵BP为直径，

∴BP⊥DF，，

∴PF＝PD．

设PF＝3x，则AF＝4x，AP＝5x

AD＝ABsin∠ABD＝ABsin∠C＝8×，

∴PD＝AD﹣AP＝﹣5x，

∴3x＝﹣5x，

∴x＝，PF＝PD＝，

在Rt△ABC中，BD＝，

在Rt△PDB中，DH＝，

∴DF＝，

在Rt△DQF中，QF＝，

易知△FQM∽△BDM，

∴．