Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点A旋转，BD与CE所在的直线交于点F．

(1)如图(2)所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于60°，∠CFB的度数是多少？说明你的理由？

(2)当△ADE绕点A旋转时，若△BCF为直角三角形，求出线段BF的长.

Answer

(1)∠CFB＝60°，理由见解析；(2)4或2.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AC=AB，∠EAD=∠CAB=60°，由点D、E分别是边AB、AC的中点，得到AE=AD，根据旋转的性质得到∠EAC=∠BAD，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABD，由对顶角相等得∠COF=∠AOB，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质，利用勾股定理解直角三角形，分两种情况求解即可得到结论．

【解析】
(1)∠CFB＝60°，

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠CAB＝60°，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴

∴AE＝AD，

∵将△ADE绕点A旋转，BD与CE所在的直线交于点F，

∴∠EAC＝∠BAD，

在△ACE与△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD，

∴∠ACE＝∠ABD，设AC交BF于O，

∵∠COF＝∠AOB，

∴∠CFB＝∠CAB＝60°；

（2）∠CFB=60°，∠BCF=90°时，∠CBF=30°，

∴CF =BF，
∴，

解得：BF=4；

∠CFB=60°，∠CBF=90°时，∠BCF=30°，

∴CF =2BF，

∴
解得：BF = 2 .

故答案为：（1）∠CFB＝60°，理由见解析；（2）4或2．