Question

如图，正方形中，点是边的中点，交于点,交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的答案是____．

Answer

①②③④

【解析】

首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE-S△DEH=S△CDE-S△DEH，即：S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确；

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，

∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴∠ABE=∠DCE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴∠HAD=∠HCD，

∵∠ABE=∠DCE

∴∠ABE=∠HAD，

∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，

∴∠ABE+∠BAH=90°，

∴∠AGB=180°-90°=90°，

∴AG⊥BE，故①正确；

∵tan∠ABE=tan∠EAG=，

，

∴BG=4EG，故②正确；

∵AD∥BC，

∴S△BDE=S△CDE，

∴S△BDE-S△DEH=S△CDE-S△DEH，

即；S△BHE=S△CHD，故③正确；

∵△ADH≌△CDH，

∴∠AHD=∠CHD，

∴∠AHB=∠CHB，

∵∠BHC=∠DHE，

∴∠AHB=∠EHD，故④正确；

故答案为①②③④．