Question

如图①，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是四边形，，反比例函数在第一象限内的图像经过点，与交于点

(1)若，求反比例函数解析式；

(2)若点为的中点，且的面积，求的长和点的坐标；

(3)在(2)中的条件下，过点作，交于点(如图②)，点为直线上的一个动点，连接，是否存在这样的点，使以为顶点的三角形的直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.

   

Answer

(1)；(2)；C(，)；(3) P或.

【解析】

（1）根据sin∠AOB=，OA=5，可知点A的坐标，代入解析式求解．

（2）根据反比例函数″k″的几何意义，转化三角形的面积，列式求解即可．

（3）分两种情况，以A为直角顶点和以O为直角顶点，构造″K″字形相似，列出比例关系可以求出点P的坐标．

【解析】
(1) 过点作于，

∵，，

点坐标为，

反比例函数解析式：

(2)设，如图2，过点作轴于，过点C作CN⊥x轴于点N，

由平行四边形性质可知OH=BN，

∵sin∠AOB=，

，

，

∵S△AOF=12，

∴S四边形AOBC=24，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF=6，

，

，

，

，

∵S四边形AOBC=24，

(3) 存在两种情况，

①A为直角顶点，如图3所示，

），点F为BC中点，

∴点F的纵坐标为，

∵EF∥OB，点P在直线EF上，

∴点P的纵坐标为，

过点P作PM⊥AC于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，

则PM=，

∵∠OAP=90°，

∴△OAN∽△APM，

，即，

，

，

.

②以O为直角顶点时，如图4所示，

过点P作PN⊥x轴于点N，过点A作AM⊥x轴于点M，

则，

∵∠AOP=90°，

则△PON∽△AOM，

，即，

，

∴点P，

综上所述：点P或.