Question

如图，是的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交、于、两点.

（1）求证：；

（2）若的半径为，，求的长.

Answer

（1）见解析；（2）MC=．

【解析】

（1）连接OC，利用切线的性质可知∠OCA+∠ACM=90°，结合已知OM⊥AB可得∠ACM=∠ODA=∠CDM，即可证明；
（2）易证△AOD∽△ACB，从而根据相似三角形的性质可得，由勾股定理可求BC=，进而求OD=，在Rt△OCM中利用列方程勾股定理即可求出MC．

【解析】
（1）连接OC，

∵CN为⊙O的切线，

∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，

∵OM⊥AB，

∴∠OAC+∠ODA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，

∴MD=MC；

（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴BC==，

∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB，

∴ 即，

可得：OD=，

设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+）2=x2+52，

解得：x=，

即MC=．