Question

如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为.过点作交于，连接.

（1）求证：四边形为菱形；

（2）当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动.

①当点与点重合时（如图），求菱形的边长；

②若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离.

Answer

（1）见解析；（2）①菱形BFEP的边长为cm，②点E在边AD上移动的最大距离为2cm.

【解析】

（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD-DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；
②找到E点离A最近和最远的两种情况即可求出点E在边AD上移动的最大距离．当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

【解析】
（1）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，

∴点B与点E关于PQ对称，

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF.

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP，

∴∠EPF=∠EFP，

∴EP=EF，

∴BP=BF=FE=EP，

∴四边形BFEP为菱形．

（2）①如图1，

图1

∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD=5cm，

CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°.

∵点B与点E关于PQ对称，

∴CE=BC=5cm.

在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2，

即DE2=52－32，

∴DE=4cm，∴AE=AD－DE=5-4=1（cm）．

在Rt△APE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE，

∴EP2=12＋（3－EP）2，解得EP=cm，

∴菱形BFEP的边长为cm.

②当点Q与点C重合时，如图1，点E离A点最近，由①知，此时AE=1cm.

当点P与点A重合时，如图2，

图2

点E离A点最远，此时四边形ABQE为正方形，

AE=AB=3cm，

∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.