Question

有这样一个问题：探究函数的图象与性质.下面是小文的探究过程，请补充完整：

（1）函数的自变量的取值范围是__________；

（2）下表是与的几组对应值：

如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点.

①观察图中各点的位置发现：点和，和，和，和均关于某点中心对称，则该点的坐标为__________；

②小文分析函数表达式发现：当时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线左侧的最高点的坐标为__________；

（3）小文补充了该函数图象上两个点，.

①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；

②写出该函数的一条性质：__________.

Answer

（1）x≠1；（2）①（1，1）；②（0，0）；（3）①作图见解析；②当x＜0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）.

【解析】

（1）分式的分母不等于零；

（2）①根据中心对称的性质和所对应的点点坐标即可求得，

②根据函数的性质求得即可；

（3）①根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；

②可以从增减性、渐近性、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．

【解析】
（1）依题意得：2x-2≠0，

解得x≠1，

故答案是：x≠1；

（2）①点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，B1（0，0），A1（2，2），

∴中心点点坐标为（1，1）；

②∵当x＜1时，该函数的最大值为0，

∴该函数图象在直线x=1左侧的最高点的坐标为（0，0）；

故答案为（1，1）；（0，0）；

（3）①

②该函数的性质：

（ⅰ）当x＜0时，y随x的增大而增大；

当0≤x＜1时，y随x的增大而减小；

当1＜x＜2时，y随x的增大而减小；

当x≥2时，y随x的增大而增大．

（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．

（ⅲ）函数的图象与直线x=1无交点，图象由两部分组成．

故答案为当x＜0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；