Question

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG//CF；④S_△EFC＝．其中正确结论的是____________（只填序号）.

Answer

①②③④

【解析】

根据正方形的性质得到AB=AD=DC=6,∠B=∠D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG,推出BG=FG,∠AGB=∠AGF,设BG=x，则CG=BC-BG=6-x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,在Rt△ECG中，由勾股定理得出(6-x)2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG,求出∠AGB=∠FCG，推出AG∥CF，根据,再求出=6，求出S△EFC即可.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°

∵CD=3DE，

∴DE=2，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴DE=EF=2，AD=AF,∠D=∠AFE=∠AFG=90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG,∴①正确；

∴BG=FG, ∠AGB=∠AGF,

设BG=x，则CG=BC-BG=6-x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,

在Rt△ECG中，由勾股定理得出CG2+CE2=EG2，

即(6-x)2+42=（x+2）2，

求出x=3，

∴BG=GF=CG,②正确；

∵CG=GF,∴∠CFG=∠FCG

∵∠BGF=∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，

∵∠AGB=∠AGF,

∴∠AGB=∠FCG，∴AG∥CF，③正确；

∵

∴S△EFC=，④正确，

故答案为①②③④