Question

如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH．

（1）如图1，点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF，直接写出BH和AF的数量关系；

（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转．

①如图2，判断BH和AF的数量关系，并说明理由；

②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形；如果四方形ABCD的边长为，求正方形EFGH的边长．

   

Answer

（1）见解析；（2）①BH=AF，理由见解析，②正方形EFGH的边长为．

【解析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）①根据正方形的性质得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

②如备用图，根据平行四边形的性质得到AH∥BD，AH=BD，于是得到∠EAH=∠AEB=90°，根据勾股定理即可得到结论．

（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，

∵四边形EFGH是正方形，∴EF=EH，

在△BEH和△AEF中，

∵，∴△BEH≌△AEF（SAS），∴BH=AF；

（2）①BH=AF，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴AE=BE，∠BEA=90°，

∵四边形EFGH是正方形，∴EF=EH，∠HEF=90°，∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，

即∠BEH=∠AEF，

在△BEH与△AEF中，∵，∴△BEH≌△AEF，∴BH=AF；

②如备用图．∵四边形ABDH是平行四边形，∴AH∥BD，AH=BD，∴∠EAH=∠AEB=90°，

∵四方形ABCD的边长为，∴AE=BE=CE=DE=1，

∴EH===，

∴正方形EFGH的边长为．