Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（n，0），C（﹣1，2），且满足式|m+2|+（m+n﹣2）²＝0．

（1）求出m，n的值．

（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半，求出点M的坐标；

②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半仍然成立，若存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M的坐标；

（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer

（1）m=﹣2，n=4；（2）①M的坐标为（3，0）；②点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；（3）2．

【解析】

（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可；

（2）①根据三角形的面积公式计算即可；

②分点M在x、y轴上两种情况计算；

（3）根据角平分线的定义、垂直的定义得到∠POF=∠BOF，设∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，结合图形得到x=y，得到答案．

（1）由题意得：，解得：，∴m=﹣2，n=4；

（2）①设点M的坐标的坐标为（x，0），△ABC的面积6×2=6，由题意得：x×26，解得：x=3，△COM的面积等于△ABC的面积的一半时，点M的坐标为（3，0）；

②当点M在x轴上时，由①得：点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0），当点M在y轴上时，设点M的坐标的坐标为（0，y），由题意得：|y|×16，解得：y=±6．

综上所述：符合条件的点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；

（3）2，不会改变．

∵OE平分∠AOP，∴∠EOP=∠AOE．

∵OF⊥OE，∴∠EOP+∠POF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠POF=∠BOF，设∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y．

∵CD⊥y轴，∴CD∥x轴，∴∠OPD=∠POB=2x，则∠POD=90°﹣2x．

∵∠EOF=90°，∴y+90°﹣2x+x=90°，解得：x=y，∴∠OPD=2∠DOE，即2．