Question

某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数与 在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程：

操作猜想：

（1）如图①，当，时，在轴的正方向上取一点作轴的平行线交于点，交于点.当时，________，________，________；当时，________，________，________；当时，猜想________.

数学思考：

（2）在轴的正方向上任意取点作轴的平行线，交于点、交于点，请用含、的式子表示的值，并利用图②加以证明.

推广应用：

（3）如图③，若，，在轴的正方向上分别取点、 作轴的平行线，交于点、，交于点、，是否存在四边形是正方形？如果存在，求的长和点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1）当时，，，；，，，；（2），理由见解析；（3）存在，，点的坐标为，理由见解析

【解析】

（1）只需根据AB•OA=2及AC•OA=6就可解决问题；

（2）由AB·OA=k1，AC·OA=k2可得BC·OA= k2-k1，就可得到；

（3）设点B的坐标为（a，b）(a>0，b>0)，则有DF=DA=AB=a，OA=b，从而可得到点F的坐标（a，a+b），由k2=12及，可求得k1=8，根据点B、F分别在两支图像上，可得到ab=8，a（a+b）=12，从而求出a，b的值

（1）当OA=1时,由AB⋅OA=2得AB=2,由AC⋅OA=6得AC=6,则有BC=AC−AB=4,所以=2；

当OA=3时,由AB⋅OA=2得AB=,由AC⋅OA=6得AC=2,则有BC=AC−AB=,所以=2；

当时，猜想.

（2）

证明：∵，，

∴，

∴ .

（3）若四边形是正方形，

设点的坐标为（，），

则有，，，

∴点的坐标为.

∵，，

∴，

解得：.

∵点在图象上，点在图象上，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，点的坐标为.