Question

如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE．

（1）求证：AD为⊙O切线；

（2）若sin∠BAC＝，求tan∠AFO的值．

Answer

（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4＝∠2，再利用AB为直径得到∠2+∠BAE＝90°，则∠4+∠BAE＝90°，然后根据切线的判定方法得到AD为⊙O切线；

（2）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝，设BC＝3k，AC＝4k，所以AB＝5k．连接OE交OE于点G，如图，利用垂径定理得OE⊥AC，所以OE∥BC，AG＝CG＝2k，则OG＝k，EG＝k，再证明△EFG∽△BFC，利用相似比得到，于是可计算出FG＝CG＝k，然后根据正切的定义求解．

（1）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵∠1＝∠3，∠3＝∠4，

∴∠4＝∠2，

∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°，

∵∠2+∠BAE＝90°

∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，

∴AD⊥AB，

∴AD为⊙O切线；

（2）【解析】
∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，

∴设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝5k．

连接OE交OE于点G，如图，

∵∠1＝∠2，

∴，

∴OE⊥AC，

∴OE∥BC，AG＝CG＝2k，

∴OG＝BC＝k，

∴EG＝OE﹣OG＝k，

∵EG∥CB，

∴△EFG∽△BFC，

∴，

∴FG＝CG＝k，

在Rt△OGF中，tan∠GFO＝，

即tan∠AFO＝3．