Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．

（1）当正方形PQMN的边MN经过点B时，t＝　   　秒；

（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；

（3）连结BN，则BN的最小值为            ．

Answer

（1）；（2）①当0＜t≤1时，S=t2；②当1＜t≤时，∴S=﹣t2+18t；③当＜t≤2时， S=﹣3t2+12；（3）．

【解析】

(1) 根据y＝－x＋4容易得出A（6，0），B（0，4），所以当正方形PQMN的边MN经过点B时，正方形边长为4，则PQ=AP＝4，进一步求出t=；

（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；

（3）先找出点N的运动轨迹所在直线的解析式，再用面积求高的方法求出BN的最小值.

【解析】
（1）分别令x=0,y=0,可得 A（6，0），B（0，4），故OB=4.

∴当正方形PQMN的边MN经过点B时，正方形边长为4，则PQ=AP＝4，

∴t=;

（2）（2）当点Q在原点O时，OA=6，
∴AP=OA=3，
∴t=3÷3=1，
①当0＜t≤1时，如图1，

令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB==，
由运动知，AP=3t，
∴P（6-3t，0），
∴Q（6-6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB===，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN===，
∴CN=t，
∴S=S正方形PQMN-S△CDN=-t×t=t2；
②当1＜t≤时，如图2，

同①的方法得，DN=t，CN=t，
∴S=S矩形OENP-S△CDN=3t×（6-3t）-t×t=-t2+18t；
③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6-3t）=-3t2+12；

∴①当0＜t≤1时，S=t2；②当1＜t≤时，∴S=﹣t2+18t；③当＜t≤2时， S=﹣3t2+12；

（3）如图，

设点N的运动轨迹所在直线解析式为y=kx+b.由AP=PN＝3t,可知当t=1时，N（3，3），且直线过A（6，0），易得解析式为y=-x+6.当x=0时，y=6.

直线y=-x+6与y轴交于点C，则C（0，6）.可得OC=6,BC=6-4=2.AC＝6

∴S△ABC=×6×2=6,

当BN⊥AC时，BN最小.

S△ABC=BN×AC,

∴BN==

故答案为