Question

如图1，经过原点O的抛物线y＝ax²＋bx（a≠0）与x轴交于另一点A（3，0），在第一象限内与直线y＝x交于点B（4，t）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积最大，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2-3x；（2）C(2，-2)；（3）（）或（）.

【解析】

（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由函数的最值公式得到C点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．

【解析】
（1）∵B（4，t）在直线y=x上，
∴t=4，
∴B（4，4），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得,

解得

∴抛物线解析式为y= x2-3x.

(2) 如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，

∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，t2-3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=4-t，CD=t-（t2-3t）=-t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=CD•OE+CD•BF=（-t2+4t）（t+4-t）=-2t2+8t=-2，
∴当t=2时，△OBC的面积最大，为8.

∴C（2，-2）；

（3）存在．连接AB、OM．
设MB交y轴于点N，如图2，

∵B（4，4），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中

∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA=3，
∴N（0，3），
∴可设直线BN解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得4=4k+3，解得k=，
∴直线BN的解析式为y=，
联立直线BN和抛物线解析式可得

解得 或，
∴M（-，），
∵C（2，-2），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（4，4），
∴OB=4，OC=2，
∵△POC∽△MOB，
∴==2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，

∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴===2，
∵M（-，），
∴MG=，OG=，
∴PH=MG=，OH=OG=，
∴P（,）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，

同理可求得PH=MG=，OH=OG=，
∴P（-,）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（,）或（-,）.