Question

如图，已知直线a∥b，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直线a于点D，线段EF在线段AB的左侧，线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P．问∠1的度数与∠EPB的度数又怎样的关系？

（特殊化）

（1）当∠1＝40°，交点P在直线a、直线b之间，求∠EPB的度数；

（2）当∠1＝70°，求∠EPB的度数；

（一般化）

（3）当∠1＝n°，求∠EPB的度数（直接用含n的代数式表示）．

Answer

（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|.

【解析】

（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解；

（2）分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a，b之间时；③当交点P在直线a的上方时；分别画出图形求解；

（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a，b之间时；②当交点P在直线a上方或直线b下方时；

【解析】
（1）∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝50°，

∵∠EPB是△PFB的外角，

∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；

（2）①当交点P在直线b的下方时：

∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；

②当交点P在直线a，b之间时：

∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；

③当交点P在直线a的上方时：

∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；

（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；

②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|；