Question

（操作体验）

如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°．

如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；

第二步：连接OA、OB；

第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P₁，P₂．

所以图中P₁，P₂即为所求的点．

（1）    在图②中，连接P₁A，P₁ B，说明∠A P₁B＝30°；

（方法迁移）

（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°．

（不写作法，保留作图痕迹）

（深入探究）

（3）已知矩形ABCD，BC＝2，AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为      ．

（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为     ．

Answer

（1）30°；（2）详见解析；（3）2≤m＜＋1；（4）―2.

【解析】

（1）根据作图可知OA＝OB＝AB，得到△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质有∠AOB＝60°，根据圆周角定理即可求解.

（2）第一步：分别以点B、C为圆心，以大于BC长为半径作弧，作出BC的垂直平分线，与BC交于点H,

第二步：以点H为圆心，以HB长为半径作圆,与BC的垂直平分线交于点O;

第三步：以O为圆心，OB长为半径作⊙O，交AB交于点E,与CD交于点F, 弧上所有的点即为所求的点（不含点E、F）．

（3）当时，满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，再求出满足∠BPC＝45°的点P变为1个时的临界值,即可求解.

（4）按照（2）的作图步骤，则点P在以劣弧BC上（不包含点B,C）,根据等腰直角三角形的性质可得当AP最小时，PQ取得最小值，当点A,P,O在同一条直线上时，AP最小，即图中的AE，求出AE，即可求解.

（1）【解析】
由作法可知：OA＝OB＝AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB＝60°．

∴∠AP1B＝30°．

（2）如图，弧上所有的点即为所求的点（不含点E、F）．

（3）如图：只要即可，

当时，满足∠BPC＝45°的点P恰有两个，

满足∠BPC＝45°的点P变为1个时,即到GH的位置时，

过点作于点M,

此时：

则的取值范围是：

故答案为：

（4）按照（2）的作图步骤，则点P在以劣弧BC上（不包含点B,C）,如图，

当AP最小时，PQ取得最小值，当点A,P,O在同一条直线上时，AP最小，即图中的AE，

故答案为：