Question

下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为”的尺规作图过程.

已知：.求作：矩形，使得矩形内接于，且其对角线的夹角为.

作法：如图，

①作的直径；

②以点为圆心，长为半径画弧，交直线上方的圆弧于点；

③连接并延长交于点；

④连接.

所以四边形就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）.

（2）完成下面的证明.

证明：∵点都在上，

∴.

同理.

∴四边形是平行四边形.

∵是的直径，

∴（           ）（填推理的依据）.

∴四边形是矩形.

∵        ，

∴.

∴四边形是所求作的矩形.

Answer

（1）见解析；（2）直径所对圆周角为直角，.

【解析】

（1）根据作法画出对应的几何图形即可；

（2）先根据圆的基本性质得OA=OA，OB=OD，从而可以判断四边形ABCD是平行四边形．再根据直径所对的圆周角是直角得，从而可得四边形ABCD是矩形.

（1）如图，四边形ABCD为所作；

（2）完成下面的证明.

证明：∵点都在上，

∴.

同理.

∴四边形是平行四边形.

∵是的直径，

∴（直径所对圆周角为直角）.

∴四边形是矩形.

∵AO，

∴.

∴四边形是所求作的矩形.