Question

在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y₁cm，A，C两点间的距离为y₂cm．

小聪根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小聪的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁，y₂与x的几组对应值；

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	2.24	2.83		2.83	2.24	0
y2/cm	0	2.45	3.46	4.24	4.90	5.48	6

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出函数y₁，y₂的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为        cm．

Answer

(1)3;（2）作图见解析；（3）4.5.

【解析】

（1）因为PC=3时，PA=PB=3，推出PC是⊙O的半径即可解决问题；

（2）利用描点法画出函数图象即可；

（3）利用数形结合的思想解决问题即可.

（1）因为PC=3时，PA=PB=3，

∴PC是⊙O的半径，

∴PC=3cm，即x=3时，y1=3．

（2）利用描点法画出函数图象即可．

（3）结合图象可知：当∠ACP=30°时，AP=AC=×AB=1.50cm．

根据对称性，结合图象可知：当∠CAP=30°时，PB=1.50cm，PA=4.50cm．