Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；

（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），若x₁＜2，x₂＞2，x₁+x₂＞4，试判断y₁与y₂的大小，并说明理由．

Answer

（1）y=-x2-6x-5．（2）点P的坐标（1，1）．（3）y1＞y2．

【解析】

（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；

（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；

（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．

（1）抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．

∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．

∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）

∴y=-x2-6x-5．

（2）如图1，

依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．

∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．

∴b＞0．

记平移后的抛物线顶点为P，

∴点P的坐标（，），

∵△OCP是等腰直角三角形，

∴=

∴b=2．

∴点P的坐标（1，1）．

（3）如图2，

当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．

∴抛物线的对称轴为直线 x=2．

∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，

且x1＜2，x2＞2，

∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．

∵x1+x2＞4，

∴2-x1＜x2-2，

∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，

∴y1＞y2．