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如图，在中，. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接....

如图，在中，. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接. 

（1）求证：；

（2）点在边上，且，连接交于点. 

①判断与的位置关系，并证明你的结论；②连接，若，请直接写出线段长度的最小值.

 

（1）见解析；（2）①,见解析；②，见解析. 【解析】 （1）根据旋转的性质易得：AB=AD，∠BAF=∠DAF，结合AF=AF可证即可得出结论； （2）①在上取，连接交于点，延长交于点，易证四边形是正方形；通过证明得，由知，易证.再证明即可； ②根据当点运动过程中，始终成立，点的轨迹在以为直径的圆上求解即可. （1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， , ∴ （） ∴； （2）①证明：在上取，连接交于点，延长交于点 由（1）得∠DAC=∠DCA，AD=AB=BC， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是正方形 ∵ BH=CE，AB=DC， ∴ （） ∴ ∵ （） ∴ ∴ 即 ∵在中， ∴ ∴ 即 ② 理由：由第二问可知，当点运动过程中， 始终成立，点的轨迹在以为直径的圆上，与圆的交点即为最小值.
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考点分析：
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在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；

（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．

 

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在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．

小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小聪的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

0

2.24

2.83

 

2.83

2.24

0

y2/cm

0

2.45

3.46

4.24

4.90

5.48

6

 

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为        cm．

 

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如图，是的直径，与相切于点.点在上，且，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点.

（1）求证：；

（2）连接，若，求的长.

 

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如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C（1，n）．

（1）求k的值；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y=交于点P、Q，且PQ=2QD，求点D的坐标．

 

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如图，在△ABC中，AC=BC，点D， E， F分别是AB，AC， BC的中点，连接DE，DF.

(1)求证:四边形DFCE是菱形；

(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积.

 

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