Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF=90°，点E、F分别在边AD、AB上．

（1）如图1，若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为2，当∠DOE=15°时，求线段EF的长；

（2）如图2，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF．

Answer

（1）①证明见解析，②；（2）证明见解析.

【解析】

（1）①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AOF≌△DOE根据全等三角形的性质证明；

②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；

（2）首先过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系．

（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OD，∠OAF=∠ODE=45°，∠AOD=90°，

∴∠AOE+∠DOE=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠AOF+∠AOE=90°，

∴∠DOE=∠AOF，

在△AOF和△DOE中，

，

∴△AOF≌△DOE，

∴AF=DE；

②【解析】
过点O作OG⊥AB于G，

∵正方形的边长为2，

∴OG=BC=，

∵∠DOE=15°，△AOF≌△DOE，

∴∠AOF=15°，

∴∠FOG=45°-15°=30°，

∴OF==2，

∴EF=；

（2）证明：如图2，过点P作HP⊥BD交AB于点H，

则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，

∴HP=BP，

∵BD=3BP，

∴PD=2BP，

∴PD=2HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，

∴∠HPF=∠DPE，

又∵∠BHP=∠EDP=45°，

∴△PHF∽△PDE，

∴，

∴PE=2PF．