Question

如图，二次函数y＝ax²+bx+ 的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．点P为第一象限的抛物线上的一个动点，过点P分别做BC和x轴的垂线，交BC于点E和F，交x轴于点M和N．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段PE最大值，并求出线段PE最大时点P的坐标；

（3）若S_△PMN＝3S_△PEF时，求出点P的坐标．

Answer

（1）；（2）的最大值为，点.（3）

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由OB，OC的长可得出∠ABC=30°，结合PN⊥x轴，PE⊥BC可得出PE=PF，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（x，），则点F的坐标为（x，-），进而可得出PE=-x2+x，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；

（3）由∠PEF=∠PNM，∠P=∠P可得出△PEF∽△PNM，利用相似三角形的性质结合S△PMN=3S△PEF可得出PN=PE，再结合（2）可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出x的值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．

（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+，得：

，解得：，

∴二次函数的解析式为．

（2）∵当时，，

∴，

∴，

∴

∵轴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

设，直线的解析式为，

，

∴，

∴

∴

又，

∴当x=时，PE取得最大值，的最大值为，此时点P的坐标为.

（3）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴

由（2）得

解得，（舍去），

∴