Question

如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P．

(1)如果∠A＝80°，求∠BPC＝_____．

(2)如图②，过点P作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)______．

(3)将直线MN绕点P旋转．

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

Answer

130°；

（2）90°﹣∠A

（3）（i）∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由见解析.

（ii）不成立，有∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A．

理由见解析.

【解析】

试题分析: （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到 ，再利用三角形内角和定理得，然后把∠A的度数代入计算；

（2）根据平角定义得 ，然后根据（1）的求解；

（3）（ i）∠与（2）的说理一样；

（ⅱ）有结论 ．

本题解析：(1)

故答案为：

(2)由 =得∠MPB+∠NPC= −∠BPC=1−( + ∠A)= −∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC=−∠A.

(3)(i)∠MPB+∠NPC=−∠A.

理由如下：

∵∠BPC=+12∠A，

∴∠MPB+∠NPC=−∠BPC=180∘−(+∠A)= −12∠A.

(ii)不成立,有∠MPB−∠NPC=−∠A.

理由如下：由题图④可知∠MPB+∠BPC−∠NPC=，

由(1)知：∠BPC=+∠A，∴∠MPB−∠NPC=−∠BPC=−(+∠A)= −∠A.