Question

已知，点为平面内一点，连接.

（1）探究：

如图1：，，则的度数是___________；

如图2：，，则的度数是___________.

（2）在图2中试探究，，之间的数量关系，并说明理由.

（3）拓展探究：当点在直线，外，如图3、4所示的位置时，请分别直接写出，，之间的数量关系.

Answer

（1）；.（2）理由见解析；（3）图3.，图4..

【解析】

（1）①过点P作PQ∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解；

②过点作，根据两直线平行，内错角相等进行求解；

（2）过点作，方法同②，把角度换成字母即可求解证明；

（3）根据平行线的性质及三角形的外角定理即可求解.

【解析】
（1）①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，

∵，，

∴∠APQ=180°- =35°，

∠CPQ=180°- =45°，

∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=80°

②过点作，则PE∥AB∥CD，

∵，，

∴∠APE=，∠CPE=，

∴=105°

（2）.

理由：如图2.，过点作，

，

，

，

，

，

；

3.图3：∵AB∥CD

∴∠=∠PEB-∠PAB=

即，

图4. ∵AB∥CD

∴∠=∠PFD-∠PCD=

即.