Question

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE．

(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．

Answer

(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)AC＝CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CE﹣CD，理由见解析；(3)补图见解析；AC＝CD﹣CE．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质及等式的性质证明△ABD≌△ACE，从而得出结论；

（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD＝CE，就可以得出AC＝CE﹣CD；

（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD＝CE，就可以得出AC＝CD﹣CE．

(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE．

∵BC＝BD+CD，AC＝BC，

∴AC＝CE+CD；

(2)AC＝CE+CD不成立，

AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CE﹣CD．

理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD＝CE

∴CE﹣CD＝BD﹣CD＝BC＝AC，

∴AC＝CE﹣CD；

(3)补全图形(如图)

AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CD﹣CE．

理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°．

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD＝CE．

∵BC＝CD﹣BD，

∴BC＝CD﹣CE，

∴AC＝CD﹣CE．