Question

已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为___．

Answer

【解析】

显然直接求BD不好入手，那么就将问题进行转化．注意到△ACD为等腰Rt△，于是以AB为腰向左作等腰Rt△ABE，则易证△ABD与△AEC相似，相似比为，从而只需求出EC即可，此时∠EBC=135°，于是过E作EF⊥BC于F，则△EFB也为等腰Rt△，算出EF、BF，进而算出EC，问题迎刃而解．

以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，

∵△ADC为等腰Rt△，

∴，∠EAB=∠DAC=45°，

∴∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，

∴∠EAC=∠DAB，

∴△EAC∽△BAD，

∴，

作EF⊥BC交BC延长线于F，

∵∠ABC=45°，∠EBA=90°，

∴∠EBF=45°，

∴△EFB为等腰Rt△，

∴EF=FB=EB=AB=7，

∴EC==25，

∴BD=EC=．