Question

如图，是等腰直角三角形底边上的高，点是的中点，延长到，使，连接.

(1)求证：四边形是矩形；

(2)填空：

①若，，则四边形的面积=_____：

②若，则____时，四边形是正方形.

Answer

(1)证明见解析；(2)①120；②.

【解析】

（1）先证明，可得OE=OD，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，可证四边形是矩形；

​（2）①求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可；②由正方形的判定方法可知，当CD=AD时，四边形是正方形，然后根据勾股定理列式求解即可.

(1)证明：∵，

∴，.

∵点是的中点，

∴.

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形.

∵是等腰三角形底边上的高，∴，

∴四边形是矩形.

(2) ①【解析】
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，

∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，

由勾股定理得：AD===15，

∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120；

②∵四边形是矩形，

∴当CD=AD时，四边形是正方形，

∵是等腰三角形底边上的高，

∴BD=CD，

∵BD2+AD2=AB2，

∴2BD2=100，

∴BD=5，

∴BC=.