Question

在等边中，点在上，点在的延长线上，且.试探索以下问题：

(1)当点为的中点时，如图1，求证：.

(2)如图2，当点不是的中点时，过点作，交于点，求证：是等边三角形.

(3)在(2)的条件下，与还相等吗？请说明理由.

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)ED=EC.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由E是AB的中点，AE=BE=BD，证出∠EDB=∠ECB，得出EC=ED；

（2）在△AEF中，只要证明有两个内角是60°即可；

（3）只要证明△DBE≌△EFC，即可推出结论.

【解析】
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，

∠ABC=∠ACB=∠A=60o ，

∵E是AB的中点，

∴AE=BE，∠ECB=∠ACB=30°，

∵AE=BD，

∴BE=BD，

∴∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°，

∴∠EDB=∠ECB，

∴EC=ED.

(2)∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60 o,∠AFE=∠ACB=60°，

∴△AEF是等边三角形，

(3)ED=EC.理由如下：

由(2)得：△AEF是等边三角形

∴∠AFE=∠ABC=60°，AE=EF=AF

∴∠EFC=∠DBE=120°，

又∵AE=BD，AB=AC，

∴BD=EF，BE=FC，

∴△DBE≌△EFC(SAS)，

∴ED=EC.